Teoremes, conjectures i demostracions

Fem integrals ?

• La integral indefinida
• Propietats de la integral indefinida
• Taula de integrals indefinides
• Exemples

Suposem que ja sabem com derivar funcions (reals), és a dir, donada una funció coneguda \(F(x)\), busquem una funció desconeguda \( f(x) \), que és la seva derivada. Ho expressem:

\[ f(x)= F'(x) \]

Per exemple: donada \( F(x) = x^3 \), derivant obtenim \( f(x)= 3x^2 \)

Ara ens plantegem fer el procés invers, donada una funció coneguda \( f(x) \), suposarem que és la derivada d'una funció \(F(x)\) que no coneixem. Volem trobar \(F(x)\) de manera que :

\[ F'(x) =f(x) \]

\(F(x)\) s'anomena funció primitiva de \( f(x) \).

Per exemple: Donada \( f(x) = x^2 \) podem dir que: \[ F(x)= \frac{x^3}{3} \] Ja que si derivem: \[ \left ( \frac{x^3}{3} \right )' = x^2\]
Observem que si \( C \in \mathbb{R} \) és una constant qualsevol, aleshores també es compleix: \[ \left ( \frac{x^3}{3} + C \right )' = x^2\]
Per tant tota funció primitiva anirà acompanyada d'una constant.

Definim la integral indefinida de la funció \( f(x) \) com:

\begin{equation}\label{integral} \int f(x)\,dx = F(x) + C \end{equation}

Geomètricament, la integral indefinida és una família de funcions de la forma \(y= F(x) + C \), on \( C \) determina cada una d'elles:

Propietats de la integral indefinida:

1. La integral indefinida de la suma de dues (o més) funcions, és la suma de integrals: \[ \int \left [f_1(x)+f_2(x)\right ]\,dx = \int f_1(x)\,dx + \int f_2(x)\,dx\]
2. Si tenim un factor constant que multiplica a la funció, el podem treure fora de la integral: \[ \int kf(x)\,dx = k \int f(x)\,dx\]

A continuació presentem una taula de integrals immediates, és a dir, integrals que s'obtenen directament de (\ref{integral}). És un bon exercici comprovar-ho.

Denotarem \(k\in \mathbb{R}\) com la constant d'integració.

1. \( \displaystyle {\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha +1}}+k\) essent \( \alpha \neq 1\)


2. \( \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| +k \)


3. \( \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x +k \)


4. \( \displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x +k \)


5. \( \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx =\tan x +k \)


6. \( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x +k \)


7. \( \displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln |\cos x| +k \)


8. \( \displaystyle \int \cot x\,dx =\ln |\sin x| +k \)


9. \( \displaystyle \int e^x\,dx = e^x +k \)


10. \( \displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} +k \)


11. \( \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,dx =\arctan x +k \)


12. \( \displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx =\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} +k \)


13. \( \displaystyle \int \frac{1}{a^2-x^2}\,dx =\frac{1}{2a} \ln \left |\frac{a+x}{a-x}\right | +k \)


14. \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\arcsin x +k \)


15. \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =\arcsin \frac{x}{a} +k \)


16. \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,dx =\ln\, \left | x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right | +k \)

Amb tot aquest material presentat fins ara ja podem calcular les integrals més senzilles, integrals que s'obtenen directament de la taula anterior. Vegem-ne uns quants exemples.

Exemple 1: Demostrem l'expressió (5) de la taula d'integrals \[ y= \tan x \quad \Rightarrow \quad y'=\left ( \tan x \right )'=\left ( \frac{\sin x }{\cos x} \right )'\] Aplicant la derivada d'un quocient: \[y'= \frac{\cos^2 x + \sin ^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}\] Per tant: \[\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx =\tan x +k\] Semblantment es demostren les altres expressions de la taula anterior.

Exemple 2 \[ \int \sin (4x-5)\,dx = -\frac{1}{4} \cos (4x -5) + k \] Hem aplicat la fórmula (3) (més general), de la taula anterior: \[ \int \sin (ax+ b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos (ax+b) +k \]

Exemple 3 \[ \int \left ( 3x^3+\frac{1}{6\sqrt{x}} + x\sqrt[4]{x} \right )\,dx=\int 3x^3 \,dx+ \int \frac{1}{6\sqrt{x}}\,dx + \int x\sqrt[4]{x} \,dx= \] \[= 3\frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{1}{6}\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{5}{4}+1}}{\frac{5}{4}+1} +k =\] \[= \frac{3}{4} x^4 + \frac{1}{3} \sqrt{x} +\frac{4}{9}x^2\sqrt[4]{x} +k\] Hem aplicat la fórmula (1) de la taula anterior.

Exemple 4 \[ \int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2| +k\] Aplicat directament la fórmula (2) de la taula anterior.

Amb aquestes notes ja es poden començar a fer un bon grapat d'integrals senzilles.

Escrivint formules amb LaTeX: una altra opció

Fa dies vam explicar com escriure fórmules matemàtiques amb Latex. Avui explicarem exactament el mateix però usant unes eines diferents, és a dir, implementarem al nostre blog MathJax.

Per implementar-ho al blog, cal afegir:

< script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript" > < /script >

just després de l'etiqueta < head > del codi HTML de la plantilla.

Amb això ja estem en condicions d'escriure qualsevol expressió o fòrmula. En aquest cas sempre escriurem l'expressió matemàtica entre els delimitadors de fòrmula, és a dir entre $$...$$ o \[...\] .
Vegem-ne alguns exemples:

\[ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} \]
o bé
$$ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} $$

Es converteix en:

\[ \frac{Numerador}{Denominador}=\frac{12345}{678910} \]

$$ \sqrt{1-x^2} $$

Es converteix en:

$$ \sqrt{1-x^2} $$

Podem combinar les expressions de fracció i arrel quadrada anteriors:

\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \]

Es converteix en:

\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \]

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Es converteix en:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Com podeu veure és senzill, amb una mica de pràctica les fórmules s'escriuen amb un plis plas !

Abans d'acabar, un últim exemple amb símbols i lletres:

\[ A \subseteq B, x \in B, \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \LaTeX \]

Es converteix en:

\[ A \subseteq B \quad,\quad x \in B \quad, \quad \mathbb{N}\quad, \quad\mathbb{Q}\quad, \quad\mathbb{R}\quad,\quad \LaTeX \]
Fonts d'informació:
MathJax
Lloc oficial LaTeX
Manual LaTeX

4 Minuts d'astronomia xinesa

Estem acostumats a veure el nostre entorn amb ulls i eines occidentals. Quan mirem al cel ben estrellat, identifiquem les constel·lacions i les àrees del firmament que hem heretat de l'antiga cultura grega i romana, amb els seus noms, mites i històries.
Però el món és més antic i hi ha altres astronomies, que ja sigui pel seu aïllament, (maia, azteca, xinesa ...), o pel seu oblid o antiguitat, (babilònica, egípcia, ...), són completament desconegudes i radicalment diferents.
En particular, l'astronomia xinesa és realment fascinant. Podríem dir que és l'astronomia més antiga documentada (1300 a.C.), es conserven anotacions sobre supernoves, cometes, eclipsis i altres fenòmens. Es té constància que les seves observacions es duien a terme d'una manera regular i per tot el territori que tenien a l'abast.
Sense el perjudici de la perfecció del Cel que promulgava Aristòtil i la Inquisició, els astrònoms xinesos no tenien el risc de morir a la foguera quan parlaven de la imperfecció del Sol observant les seves taques, tot i que potser algun va perdre el cap amb una mala predicció d'un eclipsi.
La visió que tenien el xinesos del cel i les constel·lacions era completament diferent, exceptuant unes poques formes amb les quals van coincidir, per exemple la Ossa Major. Però d'això ja en parlarem en una propera entrada.
Us deixem amb un vídeo de 4 minuts, emès ja fa un temps per la Televisió de Catalunya, al programa Nostra Nau:

Fins a la propera !

Font:
nostra nau
ASTRONOMÍA EN LA ANTIGUA CHINA (Francesc Dalmases Marquina)

Revista de Física

El primer enllaç és per Recursos de Física, és una publicació digital periòdica de la Societat Catalana de Física, tot i que només surten dos exemplars a l'any, s'hi poden trobar articles interessants de física en català, potser més adreçada al professorat. La subscripció és gratuïta i també es poden consultar totes les revistes publicades online:

El segon enllaç és la Revista de Física: "Aquesta publicació, que va néixer l’any 1991, és la primera revista en català d’alt nivell científic en física. S’hi publiquen semestralment articles sobre temes de recerca actuals, sobre l’ensenyament de la física i sobre els principals centres i grups de recerca dels Països Catalans".

Measurements of Space and Time

Aquí us deixo un vídeo del curs de Física explicat per en Walter Lewin, professor de Física del MIT (Massachusetts Institute of Technology).
http://www.academicearth.org/lectures/measurements-space-and-time

Premi Novel de Física 2012

David J. Wineland   Serge Haroche 

The Nobel Prize in Physics 2012 was awarded jointly to Serge Haroche and David J. Wineland "for ground-breaking experimental methods that enable measuring and manipulation of individual quantum systems"

Premi Nobel de Medicina 2012

Sir John B. Gurdon    Shinya Yamanaka

Sir John B. Gurdon i Shinya Yamanaka han estat guardonats amb el Premi Nobel de Medicina d'aquest any 2012, "pel seu descobriment que cèl·lules ja diferenciades es poden reprogramar convertint-se en cèl·lules pluripotents".
Descobriment important per la regeneració de diferents òrgans del cos humà.
Òbviament és un reconeixement a l'estudi i dedicació de molts anys d'investigació.

Més informació:
www.nobelprize.org
Noticia al 324.cat

Escrivint formules amb LaTeX

Ja que dediquem aquest blog a les matemàtiques, física i coses semblants, necessitarem escriure fórmules. Com ho farem ? ... Amb \LaTeX.

Què és el \LaTeX ?

És tot un entorn que ens permet escriure documents amb formules matemàtiques d'una manera "senzilla". Es poden escriure des d'articles fins a llibres, (la gran majoria de revistes científiques el fan servir).
Aquest entorn s'encarrega de generar índexs, seccions, referències... nosaltres només hem d'escriure i despreocupar-nos de l'estructura.
Com tot en aquesta vida, hi ha un "però...", cal aprendre unes quantes regles per fer-lo anar...gens difícils després de veure el resultat.
Potser més endavant en parlarem amb més detall, ara però, ens centrarem exclusivament en escriure fórmules al blog, mentrestant el que estigui interessat en aquest entorn pot trobar més informació a : \LaTeX (wikipedia)

Fem servir un script, 'latexit.js', que converteix el text que descriu l'expressió matemàtica en una imatge.

Per implementar-ho al blog, cal afegir:

<script type="text/javascript" src="http://latex.codecogs.com/latexit.js" > </script>

just després de l'etiqueta <head> del codi HTML de la plantilla.

Amb això ja estem en condicions d'escriure qualsevol expressió o fòrmula. Ho farem sempre editant l'HTML i l'estructura serà:

<div lang="latex"> ... formula ...</div>

És a dir, només ens hem d'aprendre com escriure la fórmula, la resta sempre és el mateix.
Vegem-ne alguns exemples:

<div lang="latex"> \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} </div>

Es converteix en:

\frac{Numerador}{Denominador}=\frac{12345}{678910}

<div lang="latex"> \sqrt{1-x^2} </div>

Es converteix en:

\sqrt{1-x^2}

Podem combinar les expressions de fracció i arrel quadrada anteriors:

<div lang="latex"> \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} </div>

Es converteix en:

\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}}

<div lang="latex"> \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 </div>

Es converteix en:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Com podeu veure és senzill, amb una mica de pràctica les fórmules s'escriuen amb un plis plas !

Abans d'acabar, un últim exemple amb símbols i lletres:

<div lang="latex"> A \subseteq B, x \in B, \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \LaTeX </div>

Es converteix en:

A \subseteq B \quad,\quad x \in B \quad, \quad \mathbb{N}\quad, \quad\mathbb{Q}\quad, \quad\mathbb{R}\quad,\quad \LaTeX

Fonts d'informació:
codecogs (Escriure fórmules)
Lloc oficial LaTeX
Manual LaTeX