Suposem que ja sabem com derivar funcions (reals), és a dir, donada una funció coneguda \(F(x)\), busquem una funció desconeguda \( f(x) \), que és la seva derivada. Ho expressem:
\[ f(x)= F'(x) \]
Per exemple: donada \( F(x) = x^3 \), derivant obtenim \( f(x)= 3x^2 \)
Ara ens plantegem fer el procés invers, donada una funció coneguda \( f(x) \), suposarem que és la derivada d'una funció \(F(x)\) que no coneixem. Volem trobar \(F(x)\) de manera que :
\[ F'(x) =f(x) \]
\(F(x)\) s'anomena funció primitiva de \( f(x) \).
Per exemple: Donada \( f(x) = x^2 \) podem dir que: \[ F(x)= \frac{x^3}{3} \] Ja que si derivem: \[ \left ( \frac{x^3}{3} \right )' = x^2\]
Observem que si \( C \in \mathbb{R} \) és una constant qualsevol, aleshores també es compleix: \[ \left ( \frac{x^3}{3} + C \right )' = x^2\]
Per tant tota funció primitiva anirà acompanyada d'una constant.
Definim la integral indefinida de la funció \( f(x) \) com:
\begin{equation}\label{integral}
\int f(x)\,dx = F(x) + C
\end{equation}
Geomètricament, la integral indefinida és una família de funcions de la forma \(y= F(x) + C \), on \( C \) determina cada una d'elles:
Propietats de la integral indefinida:
- La integral indefinida de la suma de dues (o més) funcions, és la suma de integrals: \[ \int \left [f_1(x)+f_2(x)\right ]\,dx = \int f_1(x)\,dx + \int f_2(x)\,dx\]
- Si tenim un factor constant que multiplica a la funció, el podem treure fora de la integral: \[ \int kf(x)\,dx = k \int f(x)\,dx\]
A continuació presentem una taula de integrals immediates, és a dir, integrals que s'obtenen directament de (\ref{integral}). És un bon exercici comprovar-ho.
Denotarem \(k\in \mathbb{R}\) com la constant d'integració.
- \( \displaystyle {\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha +1}}+k\) essent \( \alpha \neq 1\)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| +k \)
- \( \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x +k \)
- \( \displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx =\tan x +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x +k \)
- \( \displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln |\cos x| +k \)
- \( \displaystyle \int \cot x\,dx =\ln |\sin x| +k \)
- \( \displaystyle \int e^x\,dx = e^x +k \)
- \( \displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,dx =\arctan x +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx =\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{a^2-x^2}\,dx =\frac{1}{2a} \ln \left |\frac{a+x}{a-x}\right | +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\arcsin x +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =\arcsin \frac{x}{a} +k \)
- \( \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,dx =\ln\, \left | x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right | +k \)
Amb tot aquest material presentat fins ara ja podem calcular les integrals més senzilles, integrals que s'obtenen directament de la taula anterior. Vegem-ne uns quants exemples.
Exemple 1: Demostrem l'expressió (5) de la taula d'integrals
\[ y= \tan x \quad \Rightarrow \quad y'=\left ( \tan x \right )'=\left ( \frac{\sin x }{\cos x} \right )'\]
Aplicant la derivada d'un quocient:
\[y'= \frac{\cos^2 x + \sin ^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}\]
Per tant:
\[\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx =\tan x +k\]
Semblantment es demostren les altres expressions de la taula anterior.
Exemple 2
\[ \int \sin (4x-5)\,dx = -\frac{1}{4} \cos (4x -5) + k \]
Hem aplicat la fórmula (3) (més general), de la taula anterior:
\[ \int \sin (ax+ b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos (ax+b) +k \]
Exemple 3
\[ \int \left ( 3x^3+\frac{1}{6\sqrt{x}} + x\sqrt[4]{x} \right )\,dx=\int 3x^3 \,dx+ \int \frac{1}{6\sqrt{x}}\,dx + \int x\sqrt[4]{x} \,dx= \]
\[= 3\frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{1}{6}\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{5}{4}+1}}{\frac{5}{4}+1} +k =\]
\[= \frac{3}{4} x^4 + \frac{1}{3} \sqrt{x} +\frac{4}{9}x^2\sqrt[4]{x} +k\]
Hem aplicat la fórmula (1) de la taula anterior.
Exemple 4
\[ \int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2| +k\]
Aplicat directament la fórmula (2) de la taula anterior.
Amb aquestes notes ja es poden començar a fer un bon grapat d'integrals senzilles.
