dimarts, 20 d’agost del 2013
Teoremes, conjectures i demostracions
dilluns, 8 de juliol del 2013
Fem integrals ?
Suposem que ja sabem com derivar funcions (reals), és a dir, donada una funció coneguda F(x), busquem una funció desconeguda f(x), que és la seva derivada. Ho expressem:
f(x)=F′(x)
Per exemple: donada F(x)=x3, derivant obtenim f(x)=3x2
Ara ens plantegem fer el procés invers, donada una funció coneguda f(x), suposarem que és la derivada d'una funció F(x) que no coneixem. Volem trobar F(x) de manera que :
F′(x)=f(x)
F(x) s'anomena funció primitiva de f(x).
Per exemple: Donada f(x)=x2 podem dir que: F(x)=x33
Ja que si derivem:
(x33)′=x2
Observem que si C∈R és una constant qualsevol, aleshores també es compleix: (x33+C)′=x2
Per tant tota funció primitiva anirà acompanyada d'una constant.
Definim la integral indefinida de la funció f(x) com:
∫f(x)dx=F(x)+C
Geomètricament, la integral indefinida és una família de funcions de la forma y=F(x)+C, on C determina cada una d'elles:

Propietats de la integral indefinida:
- La integral indefinida de la suma de dues (o més) funcions, és la suma de integrals:
∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx
-
Si tenim un factor constant que multiplica a la funció, el podem treure fora de la integral:
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
A continuació presentem una taula de integrals immediates, és a dir, integrals que s'obtenen directament de (1). És un bon exercici comprovar-ho.
Denotarem k∈R com la constant d'integració.
- ∫xαdx=xα+1α+1+k essent α≠1
- ∫1xdx=ln|x|+k
- ∫sinxdx=−cosx+k
- ∫cosxdx=sinx+k
- ∫1cos2xdx=tanx+k
- ∫1sin2xdx=−cotx+k
- ∫tanxdx=−ln|cosx|+k
- ∫cotxdx=ln|sinx|+k
- ∫exdx=ex+k
- ∫axdx=axlna+k
- ∫11+x2dx=arctanx+k
- ∫1a2+x2dx=1aarctanxa+k
- ∫1a2−x2dx=12aln|a+xa−x|+k
- ∫1√1−x2dx=arcsinx+k
- ∫1√a2−x2dx=arcsinxa+k
- ∫1√x2±a2dx=ln|x+√x2±a2|+k
Amb tot aquest material presentat fins ara ja podem calcular les integrals més senzilles, integrals que s'obtenen directament de la taula anterior. Vegem-ne uns quants exemples.
Exemple 1: Demostrem l'expressió (5) de la taula d'integrals
y=tanx⇒y′=(tanx)′=(sinxcosx)′
Aplicant la derivada d'un quocient:
y′=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x
Per tant:
∫1cos2xdx=tanx+k
Semblantment es demostren les altres expressions de la taula anterior.
Exemple 2
∫sin(4x−5)dx=−14cos(4x−5)+k
Hem aplicat la fórmula (3) (més general), de la taula anterior:
∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+k
Exemple 3
∫(3x3+16√x+x4√x)dx=∫3x3dx+∫16√xdx+∫x4√xdx=
=3x3+13+1+16x−12+1−12+1+x54+154+1+k=
=34x4+13√x+49x24√x+k
Hem aplicat la fórmula (1) de la taula anterior.
Exemple 4
∫1x+2dx=ln|x+2|+k
Aplicat directament la fórmula (2) de la taula anterior.
Amb aquestes notes ja es poden començar a fer un bon grapat d'integrals senzilles.
diumenge, 7 de juliol del 2013
Escrivint formules amb LaTeX: una altra opció
Fa dies vam explicar com escriure fórmules matemàtiques amb Latex. Avui explicarem exactament el mateix però usant unes eines diferents, és a dir, implementarem al nostre blog MathJax.
Per implementar-ho al blog, cal afegir:
just després de l'etiqueta
Amb això ja estem en condicions d'escriure qualsevol expressió o fòrmula. En aquest cas sempre escriurem l'expressió matemàtica entre els delimitadors de fòrmula, és a dir entre
Vegem-ne alguns exemples:
o bé
Es converteix en:
NumeradorDenominador=12345678910
Es converteix en:
√1−x2
Podem combinar les expressions de fracció i arrel quadrada anteriors:
Es converteix en:
√1−x2√1+x2
Es converteix en:
sin2α+cos2α=1
Com podeu veure és senzill, amb una mica de pràctica les fórmules s'escriuen amb un plis plas !
Abans d'acabar, un últim exemple amb símbols i lletres:
Es converteix en:
A⊆B,x∈B,N,Q,R,LATEX
Fonts d'informació:
MathJax
Lloc oficial LaTeX
Manual LaTeX
Per implementar-ho al blog, cal afegir:
< script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript" > < /script >
just després de l'etiqueta
< head >
del codi HTML de la plantilla.
Amb això ja estem en condicions d'escriure qualsevol expressió o fòrmula. En aquest cas sempre escriurem l'expressió matemàtica entre els delimitadors de fòrmula, és a dir entre
$$...$$
o \[...\]
.
Vegem-ne alguns exemples:
\[ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} \]
o bé
$$ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} $$
Es converteix en:
$$ \sqrt{1-x^2} $$
Es converteix en:
Podem combinar les expressions de fracció i arrel quadrada anteriors:
\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \]
Es converteix en:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Es converteix en:
Com podeu veure és senzill, amb una mica de pràctica les fórmules s'escriuen amb un plis plas !
Abans d'acabar, un últim exemple amb símbols i lletres:
\[ A \subseteq B, x \in B, \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \LaTeX \]
Es converteix en:
Fonts d'informació:
MathJax
Lloc oficial LaTeX
Manual LaTeX
Subscriure's a:
Missatges (Atom)