Teoremes, conjectures i demostracions

Fem integrals ?

• La integral indefinida
• Propietats de la integral indefinida
• Taula de integrals indefinides
• Exemples

Suposem que ja sabem com derivar funcions (reals), és a dir, donada una funció coneguda $F(x)$, busquem una funció desconeguda $f(x)$, que és la seva derivada. Ho expressem:

$$f(x)= F'(x)$$

Per exemple: donada $F(x) = x^3$, derivant obtenim $f(x)= 3x^2$

Ara ens plantegem fer el procés invers, donada una funció coneguda $f(x)$, suposarem que és la derivada d'una funció $F(x)$ que no coneixem. Volem trobar $F(x)$ de manera que :

$$F'(x) =f(x)$$

$F(x)$ s'anomena funció primitiva de $f(x)$.

Per exemple: Donada $f(x) = x^2$ podem dir que: $$F(x)= \frac{x^3}{3}$$ Ja que si derivem: $$\left ( \frac{x^3}{3} \right )' = x^2$$
Observem que si $C \in \mathbb{R}$ és una constant qualsevol, aleshores també es compleix: $$\left ( \frac{x^3}{3} + C \right )' = x^2$$
Per tant tota funció primitiva anirà acompanyada d'una constant.

Definim la integral indefinida de la funció $f(x)$ com:

$$\begin{equation}\label{integral} \int f(x)\,dx = F(x) + C \end{equation}$$

Geomètricament, la integral indefinida és una família de funcions de la forma $y= F(x) + C$, on $C$ determina cada una d'elles:

Propietats de la integral indefinida:

1. La integral indefinida de la suma de dues (o més) funcions, és la suma de integrals: $$\int \left [f_1(x)+f_2(x)\right ]\,dx = \int f_1(x)\,dx + \int f_2(x)\,dx$$
2. Si tenim un factor constant que multiplica a la funció, el podem treure fora de la integral: $$\int kf(x)\,dx = k \int f(x)\,dx$$

A continuació presentem una taula de integrals immediates, és a dir, integrals que s'obtenen directament de ($\ref{integral}$). És un bon exercici comprovar-ho.

Denotarem $k\in \mathbb{R}$ com la constant d'integració.

1. $\displaystyle {\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha +1}}+k$ essent $\alpha \neq 1$


2. $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| +k$


3. $\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x +k$


4. $\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x +k$


5. $\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx =\tan x +k$


6. $\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x +k$


7. $\displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln |\cos x| +k$


8. $\displaystyle \int \cot x\,dx =\ln |\sin x| +k$


9. $\displaystyle \int e^x\,dx = e^x +k$


10. $\displaystyle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} +k$


11. $\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,dx =\arctan x +k$


12. $\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx =\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} +k$


13. $\displaystyle \int \frac{1}{a^2-x^2}\,dx =\frac{1}{2a} \ln \left |\frac{a+x}{a-x}\right | +k$


14. $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\arcsin x +k$


15. $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =\arcsin \frac{x}{a} +k$


16. $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,dx =\ln\, \left | x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right | +k$

Amb tot aquest material presentat fins ara ja podem calcular les integrals més senzilles, integrals que s'obtenen directament de la taula anterior. Vegem-ne uns quants exemples.

Exemple 1: Demostrem l'expressió (5) de la taula d'integrals $$y= \tan x \quad \Rightarrow \quad y'=\left ( \tan x \right )'=\left ( \frac{\sin x }{\cos x} \right )'$$ Aplicant la derivada d'un quocient: $$y'= \frac{\cos^2 x + \sin ^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$$ Per tant: $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx =\tan x +k$$ Semblantment es demostren les altres expressions de la taula anterior.

Exemple 2 $$\int \sin (4x-5)\,dx = -\frac{1}{4} \cos (4x -5) + k$$ Hem aplicat la fórmula (3) (més general), de la taula anterior: $$\int \sin (ax+ b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos (ax+b) +k$$

Exemple 3 $$\int \left ( 3x^3+\frac{1}{6\sqrt{x}} + x\sqrt[4]{x} \right )\,dx=\int 3x^3 \,dx+ \int \frac{1}{6\sqrt{x}}\,dx + \int x\sqrt[4]{x} \,dx=$$ $$= 3\frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{1}{6}\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{5}{4}+1}}{\frac{5}{4}+1} +k =$$ $$= \frac{3}{4} x^4 + \frac{1}{3} \sqrt{x} +\frac{4}{9}x^2\sqrt[4]{x} +k$$ Hem aplicat la fórmula (1) de la taula anterior.

Exemple 4 $$\int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2| +k$$ Aplicat directament la fórmula (2) de la taula anterior.

Amb aquestes notes ja es poden començar a fer un bon grapat d'integrals senzilles.

Escrivint formules amb LaTeX: una altra opció

Fa dies vam explicar com escriure fórmules matemàtiques amb Latex. Avui explicarem exactament el mateix però usant unes eines diferents, és a dir, implementarem al nostre blog MathJax.

Per implementar-ho al blog, cal afegir:

< script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript" > < /script >

just després de l'etiqueta < head > del codi HTML de la plantilla.

Amb això ja estem en condicions d'escriure qualsevol expressió o fòrmula. En aquest cas sempre escriurem l'expressió matemàtica entre els delimitadors de fòrmula, és a dir entre $$...$$ o \[...\] .
Vegem-ne alguns exemples:

\[ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} \]
o bé
$$ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} $$

Es converteix en:

$$\frac{Numerador}{Denominador}=\frac{12345}{678910}$$

$$ \sqrt{1-x^2} $$

Es converteix en:

$$\sqrt{1-x^2}$$

Podem combinar les expressions de fracció i arrel quadrada anteriors:

\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \]

Es converteix en:

$$\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$$

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Es converteix en:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
Com podeu veure és senzill, amb una mica de pràctica les fórmules s'escriuen amb un plis plas !

Abans d'acabar, un últim exemple amb símbols i lletres:

\[ A \subseteq B, x \in B, \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \LaTeX \]

Es converteix en:

$$A \subseteq B \quad,\quad x \in B \quad, \quad \mathbb{N}\quad, \quad\mathbb{Q}\quad, \quad\mathbb{R}\quad,\quad \LaTeX$$
Fonts d'informació:
MathJax
Lloc oficial LaTeX
Manual LaTeX