Processing math: 100%

dilluns, 8 de juliol del 2013

Fem integrals ?


Suposem que ja sabem com derivar funcions (reals), és a dir, donada una funció coneguda F(x), busquem una funció desconeguda f(x), que és la seva derivada. Ho expressem:

f(x)=F(x)

Per exemple: donada F(x)=x3, derivant obtenim f(x)=3x2

Ara ens plantegem fer el procés invers, donada una funció coneguda f(x), suposarem que és la derivada d'una funció F(x) que no coneixem. Volem trobar F(x) de manera que :

F(x)=f(x)

F(x) s'anomena funció primitiva de f(x).

Per exemple: Donada f(x)=x2 podem dir que: F(x)=x33 Ja que si derivem: (x33)=x2
Observem que si CR és una constant qualsevol, aleshores també es compleix: (x33+C)=x2
Per tant tota funció primitiva anirà acompanyada d'una constant.

Definim la integral indefinida de la funció f(x) com:

f(x)dx=F(x)+C

Geomètricament, la integral indefinida és una família de funcions de la forma y=F(x)+C, on C determina cada una d'elles:



Propietats de la integral indefinida:
  1. La integral indefinida de la suma de dues (o més) funcions, és la suma de integrals: [f1(x)+f2(x)]dx=f1(x)dx+f2(x)dx
  2. Si tenim un factor constant que multiplica a la funció, el podem treure fora de la integral: kf(x)dx=kf(x)dx

A continuació presentem una taula de integrals immediates, és a dir, integrals que s'obtenen directament de (1). És un bon exercici comprovar-ho.

Denotarem kR com la constant d'integració.
  1. xαdx=xα+1α+1+k essent α1

  2. 1xdx=ln|x|+k

  3. sinxdx=cosx+k

  4. cosxdx=sinx+k

  5. 1cos2xdx=tanx+k

  6. 1sin2xdx=cotx+k

  7. tanxdx=ln|cosx|+k

  8. cotxdx=ln|sinx|+k

  9. exdx=ex+k

  10. axdx=axlna+k

  11. 11+x2dx=arctanx+k

  12. 1a2+x2dx=1aarctanxa+k

  13. 1a2x2dx=12aln|a+xax|+k

  14. 11x2dx=arcsinx+k

  15. 1a2x2dx=arcsinxa+k

  16. 1x2±a2dx=ln|x+x2±a2|+k

Amb tot aquest material presentat fins ara ja podem calcular les integrals més senzilles, integrals que s'obtenen directament de la taula anterior. Vegem-ne uns quants exemples.

Exemple 1: Demostrem l'expressió (5) de la taula d'integrals y=tanxy=(tanx)=(sinxcosx) Aplicant la derivada d'un quocient: y=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x Per tant: 1cos2xdx=tanx+k Semblantment es demostren les altres expressions de la taula anterior.

Exemple 2 sin(4x5)dx=14cos(4x5)+k Hem aplicat la fórmula (3) (més general), de la taula anterior: sin(ax+b)dx=1acos(ax+b)+k

Exemple 3 (3x3+16x+x4x)dx=3x3dx+16xdx+x4xdx= =3x3+13+1+16x12+112+1+x54+154+1+k= =34x4+13x+49x24x+k Hem aplicat la fórmula (1) de la taula anterior.

Exemple 4 1x+2dx=ln|x+2|+k Aplicat directament la fórmula (2) de la taula anterior.

Amb aquestes notes ja es poden començar a fer un bon grapat d'integrals senzilles.

diumenge, 7 de juliol del 2013

Escrivint formules amb LaTeX: una altra opció

Fa dies vam explicar com escriure fórmules matemàtiques amb Latex. Avui explicarem exactament el mateix però usant unes eines diferents, és a dir, implementarem al nostre blog MathJax.

Per implementar-ho al blog, cal afegir:

< script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript" > < /script >

just després de l'etiqueta < head > del codi HTML de la plantilla.

Amb això ja estem en condicions d'escriure qualsevol expressió o fòrmula. En aquest cas sempre escriurem l'expressió matemàtica entre els delimitadors de fòrmula, és a dir entre $$...$$ o \[...\] .
Vegem-ne alguns exemples:

\[ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} \]
o bé
$$ \frac{Numerador}{Denominador} = \frac{12345}{678910} $$

Es converteix en:

NumeradorDenominador=12345678910


$$ \sqrt{1-x^2} $$

Es converteix en:

1x2


Podem combinar les expressions de fracció i arrel quadrada anteriors:

\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \]

Es converteix en:

1x21+x2


\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Es converteix en:

sin2α+cos2α=1

Com podeu veure és senzill, amb una mica de pràctica les fórmules s'escriuen amb un plis plas !

Abans d'acabar, un últim exemple amb símbols i lletres:

\[ A \subseteq B, x \in B, \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \LaTeX \]

Es converteix en:

AB,xB,N,Q,R,LATEX

Fonts d'informació:
MathJax
Lloc oficial LaTeX
Manual LaTeX