Suposem que ja sabem com derivar funcions (reals), és a dir, donada una funció coneguda F(x), busquem una funció desconeguda f(x), que és la seva derivada. Ho expressem:
f(x)=F′(x)
Per exemple: donada F(x)=x3, derivant obtenim f(x)=3x2
Ara ens plantegem fer el procés invers, donada una funció coneguda f(x), suposarem que és la derivada d'una funció F(x) que no coneixem. Volem trobar F(x) de manera que :
F′(x)=f(x)
F(x) s'anomena funció primitiva de f(x).
Per exemple: Donada f(x)=x2 podem dir que: F(x)=x33 Ja que si derivem: (x33)′=x2
Observem que si C∈R és una constant qualsevol, aleshores també es compleix: (x33+C)′=x2
Per tant tota funció primitiva anirà acompanyada d'una constant.
Definim la integral indefinida de la funció f(x) com:
∫f(x)dx=F(x)+C
Geomètricament, la integral indefinida és una família de funcions de la forma y=F(x)+C, on C determina cada una d'elles:

Propietats de la integral indefinida:
- La integral indefinida de la suma de dues (o més) funcions, és la suma de integrals: ∫[f1(x)+f2(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx
- Si tenim un factor constant que multiplica a la funció, el podem treure fora de la integral: ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
A continuació presentem una taula de integrals immediates, és a dir, integrals que s'obtenen directament de (1). És un bon exercici comprovar-ho.
Denotarem k∈R com la constant d'integració.
- ∫xαdx=xα+1α+1+k essent α≠1
- ∫1xdx=ln|x|+k
- ∫sinxdx=−cosx+k
- ∫cosxdx=sinx+k
- ∫1cos2xdx=tanx+k
- ∫1sin2xdx=−cotx+k
- ∫tanxdx=−ln|cosx|+k
- ∫cotxdx=ln|sinx|+k
- ∫exdx=ex+k
- ∫axdx=axlna+k
- ∫11+x2dx=arctanx+k
- ∫1a2+x2dx=1aarctanxa+k
- ∫1a2−x2dx=12aln|a+xa−x|+k
- ∫1√1−x2dx=arcsinx+k
- ∫1√a2−x2dx=arcsinxa+k
- ∫1√x2±a2dx=ln|x+√x2±a2|+k
Amb tot aquest material presentat fins ara ja podem calcular les integrals més senzilles, integrals que s'obtenen directament de la taula anterior. Vegem-ne uns quants exemples.
Exemple 1: Demostrem l'expressió (5) de la taula d'integrals
y=tanx⇒y′=(tanx)′=(sinxcosx)′
Aplicant la derivada d'un quocient:
y′=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x
Per tant:
∫1cos2xdx=tanx+k
Semblantment es demostren les altres expressions de la taula anterior.
Exemple 2
∫sin(4x−5)dx=−14cos(4x−5)+k
Hem aplicat la fórmula (3) (més general), de la taula anterior:
∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+k
Exemple 3
∫(3x3+16√x+x4√x)dx=∫3x3dx+∫16√xdx+∫x4√xdx=
=3x3+13+1+16x−12+1−12+1+x54+154+1+k=
=34x4+13√x+49x24√x+k
Hem aplicat la fórmula (1) de la taula anterior.
Exemple 4
∫1x+2dx=ln|x+2|+k
Aplicat directament la fórmula (2) de la taula anterior.
Amb aquestes notes ja es poden començar a fer un bon grapat d'integrals senzilles.